高考数学热点：数列有关的综合题

网络资源 发表于2020-05-20 10:32:04

　　在高考数学中，我们解决等差数列与等比数列有关的综合问题，关键是在于要理清两个数列的关系。如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解。

　　数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质。等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考数学对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注。

　　对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题。

　　数列有关的高考试题分析，讲解1：

　　设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

　　(1)求数列{an}的公比；

　　(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

　　解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，

　　由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，

　　即2a1q2＝a1q4＋a1q3.

　　由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，

　　解得q1＝－2或q2＝1(舍去)，故q＝－2.

　　(2)证明：法一：对任意k∈N＋，

　　Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)

　　＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1

　　＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)

　　＝0，

　　所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

　　数列有关的高考试题分析，讲解2：

　　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.

　　(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

　　(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn；

　　解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，

　　∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

　　当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，

　　故an＝2n－1(n∈N*)．

　　又数列{bn}为等比数列，设公比为q，

　　∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，

　　∴q＝2.

　　∴bn＝2n－1(n∈N*)．

　　(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.

　　Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

　　＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)

　　＝(21＋22＋…＋2n)－n

　　＝2（1-2n）/（1-2）－n.

　　所以Tn＝2n＋1－2－n.

　　数列有关的高考试题分析，讲解3：

　　设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2＋t，S5－S2＝24＋3t(t>0)．

　　(1)求数列{an}的通项公式；

　　(2)设bn＝aqn＋n，若b1＝a1，b5＝a5，试比较a3与b3的大小．

　　解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

　　则S5－S2＝3a1＋9d＝24＋3t，

　　又a1＝2＋t，所以d＝2，

　　故an＝2n＋t(t>0)．

　　(2)由已知可得aq＝1＋t>0，aq5＝5＋t，

　　可得3＋t＝(aq＋aq5)/2，

　　又aq5－aq＝aq(q4－1)＝4，则q4>1，得q2>1.

　　则a3－b3＝3＋t－aq3＝aq/2·(q2－1)2>0，故a3>b3.

　　解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解。

　　数列有关的高考试题分析，讲解4：

　　从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1/5，本年度当地旅游业估计收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4.

　　(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；

　　(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

　　已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决。