吃透函数的奇偶性，为高分做好准备

搜狐教育 发表于2020-06-05 10:52:07

　　纵观近几年全国各省市高考数学试卷，我们发现跟函数奇偶性有关的问题。已经是高考的一个热点，题型以客观题和解答题的形式出现，但角度不一，侧重点也有区别。

　　函数的奇偶性作为函数性质的重要构成，已成为高考数学当中的一个热点。在高考复习中为更好把握这一部分内容，我们应从概念的理解、性质结论的运用、方法技巧的总结、逻辑思维等方面入手，做到有针对性和有效性的复习。

　　高考数学中对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求函数值、参数值等问题。

　　今天我们通过对最几近全国各省的高考数学试题进行分析，总结此类题型的解法和思路，巩固函数奇偶性的重要性及其基础性，希望能帮助到大家的高考复习。

　　奇偶性作为函数的一个基本性质，在高考试题中，常与函数的单调性、对称性、周期性、零点及分段函数、解不等式等结合，涉及函数与方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化思想，以较强的逻辑考查学生的数学能力。

奇、偶函数的有关性质

　　1、定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

　　2、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；

　　3、若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；

　　4、利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反。

　　函数奇偶性有关的高考试题分析，讲解1：

　　已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x－2)在x∈[1/2,1]上恒成立，求实数a的取值范围．

　　解：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，

　　则在(－∞，0]上为减函数，由f(ax＋1)≤f(x－2)，

　　则|ax＋1|≤|x－2|，又x∈[1/2,1]，

　　故|x－2|＝2－x，

　　即x－2≤ax＋1≤2－x.

　　故x－3≤ax≤1－x,1－3/x≤a≤1/x－1，在[1/2,1]上恒成立．

　　由于（1/x-1）min＝0，（1-3/x）max＝－2，故－2≤a≤0.

　　函数奇偶性有关的高考试题分析，讲解2：

　　关于y＝f(x)，给出下列五个命题：

　　①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)是周期函数；

　　②若f(1－x)＝－f(1＋x)，则y＝f(x)为奇函数；

　　③若函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则y＝f(x)为偶函数；

　　④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；

　　⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．

　　填写所有正确命题的序号________．

　　解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函数周期为2，①正确；

　　由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的对称中心为(1,0)，②错；

　　y＝f(x－1)向左平移1个单位得y＝f(x)，故y＝f(x)关于y轴对称，③正确；

　　两个函数对称时，令1＋x＝1－x得x＝0，故应关于y轴对称，④错；

　　由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)关于x＝1对称，⑤错，

　　故正确的应是①③.

　　答案：①③

　　函数奇偶性有关的高考试题分析，讲解3：

　　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

　　(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

　　(2)若f(x)＝√x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．

　　解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

　　得f(x＋1)＝f(1－x)，

　　即有f(－x)＝f(x＋2)．

　　又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

　　故有f(－x)＝－f(x)．

　　故f(x＋2)＝－f(x)．

　　从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

　　即f(x)是周期为4的周期函数．

　　(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.

　　x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，

　　f(x)＝－f(－x)＝－√-x，又f(0)＝0，

　　故x∈[－1,0]时， f(x)＝－√-x.

　　x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]，

　　f(x)＝f(x＋4)＝－√（-x-4）.

　　从而，x∈[－5，－4]时，

　　函数f(x)＝－√（-x-4）.

函数奇偶性的应用

　　1、已知函数的奇偶性求函数的解析式。

　　利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式。

　　2、已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数。

　　常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值。

　　3、奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。